Some old notes

Here are some mathematical writings of various kinds, which include expository texts, proofs of known results, and other notes. They are a bit outdated, in the sense that after I have learned more about related things I realise they are very incomplete at some points.

• The lemma of de la Vallée-Poussin (April 2006)
  Here you will find a version of the classical lemma of de la Vallée-Poussin, with a proof. The lemma essentially says that if a function is integrable on an unbounded interval, then one can find a function which tends to infinity on the endpoints of this interval, and such that their product is still integrable. Additionally, this latter function can be chosen to have nice properties, such as being differentiable and convex.

• Evolution equations in a Banach space (April 2006)
  These notes contain well-known results on the equivalence of several concepts of solution to an evolution equation in a Banach space. Mild and weak solutions are treated, as well as renormalized solutions in the space of integrable functions.

• The general Young’s inequality for real numbers (August 2005)
  This text contains the statement and proof of Young’s inequality for real numbers and a generalization of it. Its generalization has a nice graphical interpretation which is also shown.

• Cosas sencillas sobre las ecuaciones de Laplace y Poisson (In Spanish) (January 2005)
  Una introducción informal muy básica a las ecuaciones de Laplace y Poisson que hace énfasis en algunas situaciones de la física donde aparecen (por ejemplo, se deduce cuál es el campo gravitatorio en el interior de la Tierra). Preparado para el seminario de becarios de matemáticas de la Universidad de Granada.

• Derivación bajo la integral (In Spanish) (April 2004)
  Estas notas contienen una presentación de los teoremas usuales de derivación bajo la integral y la regla de Leibniz. El objetivo es enunciar con precisión y demostrar un resultado que se suele dar por supuesto aunque no aparezca tan comúnmente en los libros de análisis.

• Ecuaciones ordinarias en el sentido de Carathéodory (In Spanish) (July 2004)
  Un desarrollo de los resultados usuales de existencia de soluciones, unicidad y regularidad para ecuaciones diferenciales ordinarias en el sentido de Carathéodory. Son notas personales sobre el tema, y no necesariamente incluye las demostraciones más directas de los resultados que se enuncian.